Формулы сокращённого умножения (7 класс)

Формулы сокращённого умножения (қысқаша көбейту формулалары) — тема алгебры 7 класса, без которой трудно дальше решать уравнения, упрощать выражения и раскладывать многочлены на множители. В этом уроке разберём все основные формулы, покажем, откуда они берутся, и решим примеры по шагам. Казахские названия формул даны в скобках.

Теория

Когда мы умножаем многочлены, некоторые произведения встречаются очень часто: например, $(a + b)(a + b)$ или $(a - b)(a + b)$. Чтобы каждый раз не раскрывать скобки полностью, результат записали в виде готовых формул.

Посмотрим, откуда берётся первая формула. Возведём сумму в квадрат, то есть умножим её саму на себя:

$(a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2.$

Эту формулу можно увидеть и на чертеже. Возьмём квадрат со стороной $a + b$ и разделим каждую сторону на отрезки $a$ и $b$. Квадрат разобьётся на четыре части: квадрат площадью $a^2$, квадрат площадью $b^2$ и два одинаковых прямоугольника площадью $ab$ каждый. Вместе получается $a^2 + 2ab + b^2$.

Точно так же доказывается формула разности квадратов:

$(a - b)(a + b) = a^2 + ab - ab - b^2 = a^2 - b^2.$

Слагаемые $ab$ и $-ab$ взаимно уничтожаются — поэтому формула такая короткая.

Формулы работают в обе стороны:

• слева направо — чтобы быстро раскрыть скобки;
• справа налево — чтобы разложить многочлен на множители (көбейткіштерге жіктеу).

Ещё формулы помогают считать устно. Например, $51 \cdot 49 = (50 + 1)(50 - 1) = 50^2 - 1^2 = 2500 - 1 = 2499$, а $99^2 = (100 - 1)^2 = 10000 - 200 + 1 = 9801$.

Формулы

Квадрат суммы словами: «квадрат первого, плюс удвоенное произведение первого на второе, плюс квадрат второго». Выражение $a^2 - ab + b^2$ в формуле суммы кубов называют неполным квадратом разности (в нём $ab$, а не $2ab$).

Примеры

Пример 1. Раскройте скобки: $(3x + 2)^2$.

Шаг 1. Это квадрат суммы. Первое выражение $a = 3x$, второе $b = 2$.

Шаг 2. Квадрат первого: $(3x)^2 = 9x^2$ (в квадрат возводится и число $3$, и $x$).

Шаг 3. Удвоенное произведение: $2 \cdot 3x \cdot 2 = 12x$.

Шаг 4. Квадрат второго: $2^2 = 4$.

Ответ: $(3x + 2)^2 = 9x^2 + 12x + 4$.

Пример 2. Раскройте скобки: $(5a - 4b)^2$ и $(a + 2)^3$.

Шаг 1. $(5a - 4b)^2$ — квадрат разности, первое выражение $5a$, второе $4b$.

Шаг 2. $(5a)^2 - 2 \cdot 5a \cdot 4b + (4b)^2 = 25a^2 - 40ab + 16b^2$.

Шаг 3. $(a + 2)^3$ — куб суммы: $a^3 + 3 \cdot a^2 \cdot 2 + 3 \cdot a \cdot 2^2 + 2^3$.

Шаг 4. Считаем коэффициенты: $a^3 + 6a^2 + 12a + 8$.

Ответ: $25a^2 - 40ab + 16b^2$; $\;a^3 + 6a^2 + 12a + 8$.

Пример 3. Упростите выражение $(x + 3)^2 - (x - 3)(x + 3)$.

Шаг 1. Первое слагаемое — квадрат суммы: $(x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9$.

Шаг 2. Второе — разность квадратов: $(x - 3)(x + 3) = x^2 - 9$.

Шаг 3. Перед вторым произведением стоит минус, поэтому берём его в скобки и меняем знаки: $x^2 + 6x + 9 - (x^2 - 9) = x^2 + 6x + 9 - x^2 + 9.$

Шаг 4. Приводим подобные: $6x + 18$.

Ответ: $6x + 18$.

Пример 4. Разложите на множители: а) $x^2 - 10x + 25$; б) $16y^2 - 25$; в) $8 - a^3$.

Шаг 1. а) $x^2 = x^2$, $25 = 5^2$, $10x = 2 \cdot x \cdot 5$. Это квадрат разности: $(x - 5)^2$.

Шаг 2. б) $16y^2 = (4y)^2$, $25 = 5^2$. Разность квадратов: $(4y - 5)(4y + 5)$.

Шаг 3. в) $8 = 2^3$. Разность кубов: $(2 - a)(4 + 2a + a^2)$.

Ответ: а) $(x - 5)^2$; б) $(4y - 5)(4y + 5)$; в) $(2 - a)(4 + 2a + a^2)$.

Частые ошибки

1. $(a + b)^2 = a^2 + b^2$. Самая распространённая ошибка — забыть удвоенное произведение. Проверьте на числах: $(2 + 3)^2 = 25$, а $2^2 + 3^2 = 13$.
2. Теряют множитель $2$ в удвоенном произведении. В $(3x + 2)^2$ средний член равен $12x$, а не $6x$.
3. Неверно возводят в квадрат одночлен. $(3x)^2 = 9x^2$, а не $3x^2$: в квадрат возводится и коэффициент.
4. Путают знаки в квадрате разности. $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$: минус только у среднего члена, последний член всегда с плюсом.
5. Забывают сменить знаки после минуса перед скобкой. В примере 3 из $-(x^2 - 9)$ получается $-x^2 + 9$, а не $-x^2 - 9$.

Реши сам

1. Раскройте скобки: $(x + 7)^2$.
2. Раскройте скобки: $(3a - 5)^2$.
3. Выполните умножение: $(4m + 3n)(4m - 3n)$.
4. Вычислите удобным способом: $102^2$ и $38 \cdot 42$.
5. Разложите на множители: а) $9x^2 - 12x + 4$; б) $49 - a^2$; в) $x^3 + 27$.
6. Упростите выражение $(2x - 1)^2 - (2x + 1)(2x - 1)$ и найдите его значение при $x = -2$.

Ответы

1. $x^2 + 14x + 49$.
2. $9a^2 - 30a + 25$.
3. $16m^2 - 9n^2$.
4. $102^2 = (100 + 2)^2 = 10000 + 400 + 4 = 10404$; $\;38 \cdot 42 = (40 - 2)(40 + 2) = 1600 - 4 = 1596$.
5. а) $(3x - 2)^2$; б) $(7 - a)(7 + a)$; в) $(x + 3)(x^2 - 3x + 9)$.
6. $4x^2 - 4x + 1 - (4x^2 - 1) = -4x + 2$; при $x = -2$: $-4 \cdot (-2) + 2 = 10$.

Итог

Формулы сокращённого умножения экономят время: они позволяют быстро раскрывать скобки, считать устно и раскладывать многочлены на множители. Главное — запомнить квадрат суммы, квадрат разности и разность квадратов, внимательно следить за удвоенным произведением и знаками.

Если тема пока даётся трудно, её можно спокойно разобрать на индивидуальном онлайн-занятии на казахском языке — с разбором именно тех примеров, на которых ребёнок ошибается.