Қысқаша көбейту формулалары (7 сынып)

Қысқаша көбейту формулалары көпмүшелерді тез көбейтуге, өрнектерді ықшамдауға және көбейткіштерге жіктеуге көмектеседі. 7 сыныпта бұл формулалар алгебраның негізгі құралына айналады: оларсыз 8 сыныптағы квадрат теңдеулерді, бөлшектерді қысқартуды және квадрат түбірлермен түрлендірулерді меңгеру қиын. Бұл сабақта әр формуланың мағынасын, қолданылу жолын және оқушылар жиі жіберетін қателерді қарастырамыз.

Теория

Екі көпмүшені көбейту үшін бір көпмүшенің әр мүшесін екінші көпмүшенің әр мүшесіне көбейтеміз. Мысалы:

$(a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2.$

Мұндай көбейтулер өте жиі кездесетіндіктен, олардың нәтижелерін формула ретінде жаттап алған тиімді. Формулаларды екі бағытта қолданамыз:

• солдан оңға — жақшаларды ашу, яғни көбейтінділерді көпмүшеге айналдыру үшін;
• оңнан солға — көпмүшені көбейткіштерге жіктеу үшін.

Формулаларды сөзбен айта білу есте сақтауға көмектеседі. Мысалы, қосындының квадраты: «бірінші санның квадраты, қосу бірінші мен екінші санның екі еселенген көбейтіндісі, қосу екінші санның квадраты».

Мұндағы $a$ мен $b$ орнына тек сандар емес, кез келген өрнектер тұруы мүмкін: $3x$, $2a$, $5b^2$ және т.б. Сондықтан ең алдымен өрнектегі «біріншісі» мен «екіншісін» дұрыс анықтау керек.

Формулалар

Кубтар қосындысы мен айырмасы формулаларындағы $a^2 - ab + b^2$ және $a^2 + ab + b^2$ өрнектері толымсыз квадраттар деп аталады (оларда $2ab$ емес, $ab$ тұр).

Мысалдар

1-мысал. $(3x + 2)^2$ өрнегін көпмүше түрінде жаз

1-қадам. Бірінші өрнек $a = 3x$, екінші өрнек $b = 2$. Қосындының квадраты формуласын қолданамыз.

2-қадам. $a^2 = (3x)^2 = 9x^2$; $\;2ab = 2 \cdot 3x \cdot 2 = 12x$; $\;b^2 = 4$.

3-қадам. $(3x + 2)^2 = 9x^2 + 12x + 4$.

2-мысал. $(2a - 5b)^2$ өрнегін көпмүше түрінде жаз

1-қадам. Айырманың квадраты: бірінші өрнек $2a$, екінші өрнек $5b$.

2-қадам. $(2a)^2 = 4a^2$; $\;2 \cdot 2a \cdot 5b = 20ab$; $\;(5b)^2 = 25b^2$.

3-қадам. Ортаңғы мүшенің алдында минус тұрады:

$(2a - 5b)^2 = 4a^2 - 20ab + 25b^2.$

3-мысал. Көбейткіштерге жікте: $49x^2 - 16$

1-қадам. Әр мүшені квадрат түрінде жазамыз: $49x^2 = (7x)^2$, $16 = 4^2$.

2-қадам. Квадраттар айырмасы формуласы бойынша:

$49x^2 - 16 = (7x - 4)(7x + 4).$

3-қадам. Тексеру үшін жақшаларды ашамыз: $(7x)^2 - 4^2 = 49x^2 - 16$.

4-мысал. Ауызша есепте: $101^2$ және $49 \cdot 51$

1-қадам. $101^2 = (100 + 1)^2 = 10000 + 200 + 1 = 10201$.

2-қадам. $49 \cdot 51 = (50 - 1)(50 + 1) = 50^2 - 1^2 = 2500 - 1 = 2499$.

Формулалар есептеулерді калькуляторсыз, тез орындауға мүмкіндік береді.

5-мысал. Өрнекті ықшамда: $(x + 3)^2 - (x - 3)^2$

1-қадам. Әр квадратты жеке ашамыз: $(x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9$, $(x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9$.

2-қадам. Екінші өрнектің алдында минус тұрғандықтан, оны жақшаға алып азайтамыз:

$x^2 + 6x + 9 - (x^2 - 6x + 9) = x^2 + 6x + 9 - x^2 + 6x - 9.$

3-қадам. Ұқсас мүшелерді біріктіреміз: $12x$.

Жауабы: $12x$.

6-мысал. Көбейткіштерге жікте: $x^3 - 8$

1-қадам. $8 = 2^3$, демек, бұл — кубтар айырмасы, $a = x$, $b = 2$.

2-қадам. $x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$.

Жиі кездесетін қателер

1. $(a + b)^2 = a^2 + b^2$ деп жазу. Бұл — ең көп тараған қате. Ортаңғы $2ab$ мүшесі міндетті түрде болады: $(x + 5)^2 = x^2 + 10x + 25$, ал $x^2 + 25$ емес. Тексеріп көр: $x = 1$ болғанда $(1 + 5)^2 = 36$, ал $1 + 25 = 26$.
2. Коэффициентті квадратқа шығаруды ұмыту. $(3x)^2 = 9x^2$, ал $3x^2$ емес. Дәрежеге көбейткіштердің әрқайсысы шығарылады.
3. Айырманың квадраты мен квадраттар айырмасын шатастыру. $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, ал $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. Бұлар — әртүрлі өрнектер.
4. Жақша алдындағы минусты ескермеу. $-(x - 3)^2$ өрнегінде алдымен квадратты ашып, жақшаға алып, содан кейін ғана таңбаларды өзгертеміз: $-(x^2 - 6x + 9) = -x^2 + 6x - 9$.
5. Толымсыз квадраттағы таңбаны шатастыру. Кубтар қосындысында екінші жақшада минус тұрады: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$. Ал кубтар айырмасында — плюс.

Өз бетіңше шығар

1. Көпмүше түрінде жаз: $(4y - 3)^2$.
2. Көбейтіндіні тап: $(2m - 7)(2m + 7)$.
3. Көбейткіштерге жікте: $25a^2 - 36b^2$.
4. Көбейткіштерге жікте: $x^2 - 14x + 49$.
5. Ыңғайлы тәсілмен есепте: $98^2$ және $1002 \cdot 998$.
6. Көбейткіштерге жікте: $a^3 + 27$.

Жауаптары

1. $16y^2 - 24y + 9$.
2. $4m^2 - 49$.
3. $(5a - 6b)(5a + 6b)$.
4. $(x - 7)^2$.
5. $98^2 = (100 - 2)^2 = 10000 - 400 + 4 = 9604$; $\;1002 \cdot 998 = 1000^2 - 2^2 = 999996$.
6. $(a + 3)(a^2 - 3a + 9)$.

Қорытынды

Қысқаша көбейту формулалары — алгебраның «көбейту кестесі»: оларды жатқа білу және екі бағытта да қолдана алу кейінгі барлық тақырыптарды жеңілдетеді. Есептегенде алдымен «бірінші» және «екінші» өрнекті анықтап, коэффициенттерді дәрежеге толық шығарып, таңбаларды мұқият қадағала.

Егер формулаларды өрнекте «тану» немесе көбейткіштерге жіктеу әлі де қиын болса, бұл тақырыпты қазақ тілінде жеке онлайн-сабақта мұғаліммен бірге көп мысал арқылы бекітуге болады.