Теорема Пифагора: доказательство и задачи (8 класс)

Теорема Пифагора — одна из самых известных теорем геометрии, её изучают в 8 классе. В этом уроке разберём формулировку и доказательство теоремы Пифагора, обратную теорему и научимся решать задачи: находить гипотенузу, катет, диагональ и высоту. Казахские термины даны в скобках.

Теория

Теорема Пифагора (Пифагор теоремасы) относится только к прямоугольному треугольнику (тікбұрышты үшбұрыш) — треугольнику, у которого один угол равен $90^\circ$.

Стороны прямоугольного треугольника называются так:

• катеты (катеттер) — две стороны, которые образуют прямой угол (тік бұрыш);
• гипотенуза (гипотенуза) — сторона, лежащая напротив прямого угла. Это всегда самая длинная сторона треугольника.

Обычно катеты обозначают $a$ и $b$, гипотенузу — $c$.

Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

$c^2 = a^2 + b^2.$

Доказательство

Возьмём прямоугольный треугольник с катетами $a$, $b$ и гипотенузой $c$. Острые углы обозначим $\alpha$ и $\beta$; так как сумма углов треугольника $180^\circ$, то $\alpha + \beta = 90^\circ$.

Построим квадрат со стороной $a + b$. На каждой его стороне отметим точку, которая делит сторону на отрезки $a$ и $b$ (обходя квадрат по кругу, так, чтобы после отрезка $a$ шёл отрезок $b$). Соединим соседние отмеченные точки. Квадрат разделится на четыре одинаковых прямоугольных треугольника с катетами $a$ и $b$ (по одному в каждом углу) и четырёхугольник в середине.

Шаг 1. Четырёхугольник в середине — квадрат. Все его стороны равны $c$, так как это гипотенузы равных треугольников. Возьмём любую его вершину: она лежит на стороне большого квадрата, и в ней сходятся три угла — $\alpha$, $\beta$ и угол четырёхугольника. Вместе они составляют развёрнутый угол $180^\circ$. Значит, угол четырёхугольника равен $180^\circ - (\alpha + \beta) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Ромб с прямыми углами — квадрат, и его площадь (аудан) равна $c^2$.

Шаг 2. Считаем площадь большого квадрата двумя способами. С одной стороны, она равна $(a + b)^2$. С другой стороны, она складывается из площади внутреннего квадрата и четырёх треугольников:

$(a + b)^2 = c^2 + 4 \cdot \frac{ab}{2}.$

Шаг 3. Упрощаем.

$a^2 + 2ab + b^2 = c^2 + 2ab \quad \Rightarrow \quad c^2 = a^2 + b^2.$

Теорема доказана.

Обратная теорема

Если в треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон, то этот треугольник прямоугольный. С её помощью проверяют, является ли треугольник прямоугольным, зная только длины сторон.

Формулы

Полезно помнить пифагоровы тройки — целые числа, для которых выполняется теорема: $3, 4, 5$; $\;5, 12, 13$; $\;8, 15, 17$; $\;7, 24, 25$. Числа, кратные им (например, $6, 8, 10$), тоже подходят.

Примеры

Пример 1. Катеты прямоугольного треугольника равны 6 см и 8 см. Найдите гипотенузу.

Шаг 1. Неизвестна гипотенуза, значит, квадраты катетов складываем: $c^2 = a^2 + b^2$.

Шаг 2. Подставляем: $c^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$.

Шаг 3. Извлекаем корень: $c = \sqrt{100} = 10$.

Ответ: 10 см.

Пример 2. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13 см, один из катетов — 5 см. Найдите второй катет.

Шаг 1. Неизвестен катет, значит, из квадрата гипотенузы вычитаем квадрат известного катета: $b^2 = c^2 - a^2$.

Шаг 2. Подставляем: $b^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$.

Шаг 3. $b = \sqrt{144} = 12$.

Ответ: 12 см.

Пример 3. В равнобедренном треугольнике (теңбүйірлі үшбұрыш) боковые стороны равны 10 см, основание — 12 см. Найдите высоту, проведённую к основанию, и площадь треугольника.

Шаг 1. Высота (биіктік), проведённая к основанию равнобедренного треугольника, делит основание пополам. Получаем два равных прямоугольных треугольника: гипотенуза — боковая сторона $10$ см, один катет — половина основания $12 : 2 = 6$ см, второй катет — искомая высота $h$.

Шаг 2. По теореме Пифагора: $h^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64$, $h = 8$ см.

Шаг 3. Площадь треугольника: $S = \dfrac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 48$ см².

Ответ: высота 8 см, площадь 48 см².

Пример 4. Являются ли прямоугольными треугольники со сторонами а) 9, 40, 41; б) 6, 7, 9?

Шаг 1. Выбираем самую большую сторону — только она может быть гипотенузой.

Шаг 2. а) $41^2 = 1681$; $\;9^2 + 40^2 = 81 + 1600 = 1681$. Равенство выполняется, по обратной теореме треугольник прямоугольный.

Шаг 3. б) $9^2 = 81$; $\;6^2 + 7^2 = 36 + 49 = 85$. Так как $85 \neq 81$, треугольник не прямоугольный.

Ответ: а) да; б) нет.

Частые ошибки

1. Складывают стороны, а не их квадраты. Неверно: $c = 6 + 8 = 14$. Верно: $c^2 = 36 + 64$, $c = 10$.
2. Путают сложение и вычитание. Если ищем гипотенузу — складываем квадраты катетов. Если ищем катет — вычитаем из квадрата гипотенузы. Проверка здравым смыслом: гипотенуза должна получиться больше каждого катета, а катет — меньше гипотенузы.
3. Забывают извлечь корень. В примере 1 ответ — $10$, а не $100$: $100$ — это $c^2$.
4. Применяют теорему к непрямоугольному треугольнику. Формула $c^2 = a^2 + b^2$ верна только при наличии прямого угла. Если его нет, сначала нужно его «найти» — например, провести высоту, как в примере 3.
5. В обратной теореме берут не ту сторону. Проверять нужно квадрат самой большой стороны, а не любой.

Реши сам

1. Катеты прямоугольного треугольника равны 5 и 12. Найдите гипотенузу.
2. Гипотенуза равна 17, один катет равен 8. Найдите второй катет.
3. Катеты прямоугольного треугольника равны 2 и 4. Найдите гипотенузу (ответ запишите с корнем).
4. Диагонали ромба (ромб) равны 12 см и 16 см. Найдите сторону ромба. Подсказка: диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам.
5. Является ли прямоугольным треугольник со сторонами 12, 35, 37?
6. Сторона равностороннего треугольника (тең қабырғалы үшбұрыш) равна 6 см. Найдите его высоту и площадь.

Ответы

1. $c^2 = 25 + 144 = 169$, $c = 13$.
2. $b^2 = 289 - 64 = 225$, $b = 15$.
3. $c^2 = 4 + 16 = 20$, $c = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.
4. Половины диагоналей равны 6 см и 8 см, они являются катетами, сторона ромба — гипотенузой: $\sqrt{36 + 64} = 10$ см.
5. Да: $12^2 + 35^2 = 144 + 1225 = 1369 = 37^2$.
6. Высота делит сторону пополам: $h^2 = 6^2 - 3^2 = 36 - 9 = 27$, $h = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$ см. Площадь $S = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 3\sqrt{3} = 9\sqrt{3}$ см².

Итог

Теорема Пифагора связывает стороны прямоугольного треугольника: $c^2 = a^2 + b^2$. Чтобы найти гипотенузу, складываем квадраты катетов; чтобы найти катет — вычитаем; а обратная теорема помогает узнать, прямоугольный ли треугольник. Многие задачи на высоты, диагонали и ромбы сводятся к поиску прямоугольного треугольника на чертеже.

Если тема пока даётся трудно, её можно спокойно разобрать на индивидуальном онлайн-занятии на казахском языке — с чертежами на общей доске и в удобном темпе.