Квадратные уравнения: дискриминант и формула корней (8 класс)

В этом уроке разберём, как решать квадратные уравнения через дискриминант и формулу корней — одну из главных тем алгебры 8 класса. Покажем, как по знаку дискриминанта сразу понять, сколько корней у уравнения, и решим примеры по шагам. Рядом с русскими терминами даём казахские — так удобнее ребёнку, который учится в казахской школе.

Теория

Квадратным уравнением (квадрат теңдеу) называется уравнение вида

$ax^2 + bx + c = 0,$

где $x$ — неизвестное, $a$, $b$, $c$ — числа, причём $a \neq 0$.

Числа называются коэффициентами (коэффициенттер):

• $a$ — первый, или старший, коэффициент;
• $b$ — второй коэффициент;
• $c$ — свободный член (бос мүше).

Например, в уравнении $2x^2 - 7x + 3 = 0$ коэффициенты такие: $a = 2$, $b = -7$, $c = 3$. Обратите внимание: знак «минус» входит в коэффициент.

Корнями уравнения (теңдеудің түбірлері) называют такие значения $x$, при которых уравнение превращается в верное равенство. Решить квадратное уравнение — значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

Прежде чем решать, уравнение нужно привести к стандартному виду: все слагаемые перенести в левую часть, справа оставить $0$, подобные слагаемые привести. Например, уравнение $x^2 = 3x + 4$ сначала записываем как $x^2 - 3x - 4 = 0$.

Если $b = 0$ или $c = 0$, уравнение называют неполным (толымсыз квадрат теңдеу). Его удобно решать без дискриминанта:

• $x^2 - 9 = 0 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = 3$ или $x = -3$;
• $x^2 - 5x = 0 \Rightarrow x(x - 5) = 0 \Rightarrow x = 0$ или $x = 5$.

Для полного уравнения используется дискриминант.

Формулы

Дискриминант (дискриминант) квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ вычисляется по формуле

$D = b^2 - 4ac.$

Знак дискриминанта показывает, сколько корней у уравнения:

Формула корней квадратного уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.$

Знак «$\pm$» означает, что мы считаем два раза: один раз с плюсом, второй раз с минусом.

Если второй коэффициент чётный, то есть $b = 2k$, вычисления можно упростить:

$\frac{D}{4} = k^2 - ac, \qquad x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{D/4}}{a}.$

Например, для $x^2 + 8x - 20 = 0$ имеем $k = 4$, $\dfrac{D}{4} = 16 + 20 = 36$, $x_{1,2} = -4 \pm 6$, то есть $x_1 = 2$, $x_2 = -10$.

Примеры

Пример 1. Решите уравнение $x^2 - 5x + 6 = 0$.

Шаг 1. Выписываем коэффициенты: $a = 1$, $b = -5$, $c = 6$.

Шаг 2. Находим дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1.$

Шаг 3. $D > 0$, значит, корней два. $\sqrt{D} = 1$.

Шаг 4. Находим корни: $x_1 = \frac{5 + 1}{2} = 3, \qquad x_2 = \frac{5 - 1}{2} = 2.$

Шаг 5. Проверка: $3^2 - 5 \cdot 3 + 6 = 9 - 15 + 6 = 0$; $2^2 - 5 \cdot 2 + 6 = 4 - 10 + 6 = 0$. Верно.

Ответ: $2$; $3$.

Пример 2. Решите уравнение $2x^2 + 3x - 2 = 0$.

Шаг 1. Коэффициенты: $a = 2$, $b = 3$, $c = -2$.

Шаг 2. Дискриминант: $D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25.$ Обратите внимание: минус на минус даёт плюс.

Шаг 3. $D > 0$, корней два, $\sqrt{25} = 5$.

Шаг 4. Корни (в знаменателе $2a = 4$, а не $2$): $x_1 = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, \qquad x_2 = \frac{-3 - 5}{4} = \frac{-8}{4} = -2.$

Шаг 5. Проверка для $x = -2$: $2 \cdot 4 + 3 \cdot (-2) - 2 = 8 - 6 - 2 = 0$. Верно.

Ответ: $-2$; $\dfrac{1}{2}$.

Пример 3. Решите уравнение $x^2 - 6x + 9 = 0$.

Шаг 1. Коэффициенты: $a = 1$, $b = -6$, $c = 9$.

Шаг 2. Дискриминант: $D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 36 - 36 = 0.$

Шаг 3. $D = 0$, значит, уравнение имеет один корень: $x = \frac{-b}{2a} = \frac{6}{2} = 3.$

Шаг 4. Заметим, что $x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$ — это полный квадрат, поэтому корень действительно один.

Ответ: $3$.

Пример 4. Решите уравнение $3x^2 - 2x + 5 = 0$.

Шаг 1. Коэффициенты: $a = 3$, $b = -2$, $c = 5$.

Шаг 2. Дискриминант: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 4 - 60 = -56.$

Шаг 3. $D < 0$. Квадратный корень из отрицательного числа среди действительных чисел не существует, значит, уравнение корней не имеет.

Ответ: корней нет.

Частые ошибки

1. Неправильный знак коэффициента. В уравнении $x^2 - 5x + 6 = 0$ коэффициент $b = -5$, а не $5$. Тогда $-b = 5$. Ученики часто пишут $-b = -5$ и получают корни с неверным знаком.
2. Ошибка в знаке при $-4ac$. Если $c$ отрицательное, как в примере 2, то $-4 \cdot 2 \cdot (-2) = +16$. Удобно сначала отдельно посчитать $4ac$, а потом вычитать.
3. Деление на $2$ вместо $2a$. Когда $a \neq 1$, в знаменателе стоит $2a$. Для $2x^2 + 3x - 2 = 0$ это $4$.
4. Уравнение не приведено к стандартному виду. В уравнении $x^2 = 3x + 4$ нельзя сразу брать $b = 3$, $c = 4$. Сначала переносим всё влево: $x^2 - 3x - 4 = 0$, и только потом $b = -3$, $c = -4$.
5. «Корни» при отрицательном дискриминанте. Если $D < 0$, то писать $\sqrt{-56}$ и что-то вычислять дальше нельзя — правильный ответ: корней нет.

Реши сам

1. $x^2 - 7x + 10 = 0$
2. $x^2 + 2x - 15 = 0$
3. $3x^2 - 5x + 2 = 0$
4. $4x^2 - 4x + 1 = 0$
5. $2x^2 + x + 3 = 0$
6. $x(x + 3) = 2x + 6$ (сначала приведите к стандартному виду)

Ответы

1. $D = 49 - 40 = 9$; $x_1 = 5$, $x_2 = 2$.
2. $D = 4 + 60 = 64$; $x_1 = 3$, $x_2 = -5$.
3. $D = 25 - 24 = 1$; $x_1 = 1$, $x_2 = \dfrac{2}{3}$.
4. $D = 16 - 16 = 0$; $x = \dfrac{1}{2}$.
5. $D = 1 - 24 = -23 < 0$; корней нет.
6. $x^2 + 3x = 2x + 6 \Rightarrow x^2 + x - 6 = 0$; $D = 1 + 24 = 25$; $x_1 = 2$, $x_2 = -3$.

Итог

Чтобы решить квадратное уравнение, приведите его к виду $ax^2 + bx + c = 0$, аккуратно выпишите коэффициенты со знаками, найдите дискриминант $D = b^2 - 4ac$ и по его знаку определите число корней. Самые частые ошибки — в знаках, поэтому полезно делать проверку подстановкой.

Если тема пока даётся трудно, её можно спокойно разобрать на индивидуальном онлайн-занятии на казахском языке — в своём темпе и с ответами на все вопросы.