Квадрат теңдеу — дискриминант және түбірлер формуласы (8 сынып)

Бұл сабақта квадрат теңдеуді дискриминант арқылы шешуді қарапайым тілмен, қадам-қадаммен түсіндіреміз. Квадрат теңдеу — 8 сынып алгебрасының ең маңызды тақырыптарының бірі: ол кейін функциялар, теңсіздіктер, физика есептері мен емтихандарда үнемі кездеседі. Тақырыпты бір рет дұрыс түсініп алсаң, кез келген квадрат теңдеуді сенімді шеше аласың.

Теория

Квадрат теңдеу деп мына түрдегі теңдеуді айтамыз:

$ax^2 + bx + c = 0,$

мұндағы $x$ — айнымалы, $a$, $b$, $c$ — берілген сандар және $a \neq 0$.

• $a$ — бірінші коэффициент (бас коэффициент),
• $b$ — екінші коэффициент,
• $c$ — бос мүше.

Егер $a = 0$ болса, онда $x^2$ жоғалады да, теңдеу сызықтық теңдеуге айналады. Сондықтан квадрат теңдеуде әрқашан $a \neq 0$.

Мысалы, $3x^2 - 5x + 2 = 0$ теңдеуінде $a = 3$, $b = -5$, $c = 2$. Назар аудар: $b$ коэффициенті өзінің таңбасымен бірге алынады.

Толымсыз квадрат теңдеулер. Егер $b$ немесе $c$ коэффициенттерінің бірі (немесе екеуі де) нөлге тең болса, теңдеу толымсыз деп аталады:

• $ax^2 + c = 0$ (мұнда $b = 0$) — $x^2 = -\frac{c}{a}$ түріне келтіріп шешеміз;
• $ax^2 + bx = 0$ (мұнда $c = 0$) — $x$-ті жақшаның сыртына шығарамыз: $x(ax + b) = 0$;
• $ax^2 = 0$ — жалғыз түбірі $x = 0$.

Толымсыз теңдеулерді дискриминантсыз шешу ыңғайлырақ, бірақ дискриминант формуласы оларға да жарайды.

Дискриминант. Толық квадрат теңдеуді шешу үшін алдымен дискриминантты есептейміз:

$D = b^2 - 4ac.$

«Дискриминант» сөзі латынша «айыратын» дегенді білдіреді: ол теңдеудің неше түбірі бар екенін алдын ала айырып береді.

Формулалар

Квадрат теңдеудің түбірлер формуласы:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}, \qquad D = b^2 - 4ac.$

Егер $D = 0$ болса, формула бір ғана мән береді:

$x = -\frac{b}{2a}.$

Екінші коэффициент жұп сан болғанда ($b = 2k$) есептеуді жеңілдететін формула бар:

$D_1 = k^2 - ac, \qquad x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a}.$

Бұл формуланы міндетті түрде қолдану шарт емес, бірақ үлкен сандармен жұмыс істегенде уақыт үнемдейді.

Мысалдар

1-мысал. $x^2 - 5x + 6 = 0$

1-қадам. Коэффициенттерді жазамыз: $a = 1$, $b = -5$, $c = 6$.

2-қадам. Дискриминантты есептейміз:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1.$

3-қадам. $D > 0$, демек, екі түбір бар. $\sqrt{D} = 1$.

4-қадам. Түбірлерді табамыз:

$x_1 = \frac{5 + 1}{2} = 3, \qquad x_2 = \frac{5 - 1}{2} = 2.$

Тексеру: $3^2 - 5 \cdot 3 + 6 = 9 - 15 + 6 = 0$; $\;2^2 - 5 \cdot 2 + 6 = 4 - 10 + 6 = 0$.

Жауабы: $x_1 = 3$, $x_2 = 2$.

2-мысал. $2x^2 + 3x - 2 = 0$

1-қадам. $a = 2$, $b = 3$, $c = -2$.

2-қадам. $D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$.

3-қадам. $D > 0$, $\sqrt{D} = 5$.

4-қадам. Бөлімде $2a = 4$ екенін ұмытпаймыз:

$x_1 = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, \qquad x_2 = \frac{-3 - 5}{4} = \frac{-8}{4} = -2.$

Тексеру: $2 \cdot \frac{1}{4} + 3 \cdot \frac{1}{2} - 2 = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} - 2 = 0$; $\;2 \cdot 4 + 3 \cdot (-2) - 2 = 8 - 6 - 2 = 0$.

Жауабы: $x_1 = \frac{1}{2}$, $x_2 = -2$.

3-мысал. $x^2 - 6x + 9 = 0$

1-қадам. $a = 1$, $b = -6$, $c = 9$.

2-қадам. $D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 36 - 36 = 0$.

3-қадам. $D = 0$, демек, бір түбір бар:

$x = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3.$

Бұл теңдеудің сол жағы толық квадрат екенін байқауға болады: $x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$.

Жауабы: $x = 3$.

4-мысал. $x^2 + 2x + 5 = 0$

1-қадам. $a = 1$, $b = 2$, $c = 5$.

2-қадам. $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = -16$.

3-қадам. $D < 0$. Теріс саннан квадрат түбір алынбайды, сондықтан теңдеудің нақты түбірлері жоқ.

Жауабы: түбірлері жоқ.

5-мысал (толымсыз теңдеулер)

а) $3x^2 - 12 = 0$.

1-қадам. $3x^2 = 12$, бұдан $x^2 = 4$.

2-қадам. $x = 2$ немесе $x = -2$. Екі түбірді де жазу керек!

б) $2x^2 - 7x = 0$.

1-қадам. $x$-ті жақша сыртына шығарамыз: $x(2x - 7) = 0$.

2-қадам. Көбейтінді нөлге тең, егер көбейткіштердің бірі нөлге тең болса: $x = 0$ немесе $2x - 7 = 0$, яғни $x = 3{,}5$.

Жауабы: а) $\pm 2$; б) $0$ және $3{,}5$.

Жиі кездесетін қателер

1. $b$ теріс болғанда таңбаны жоғалту. $x^2 - 5x + 6 = 0$ теңдеуінде $b = -5$, сондықтан формуладағы $-b$ мәні $5$-ке тең. Оқушылар жиі $-5$ деп жазып, түбірлердің таңбасын шатастырады.
2. $-4ac$ көбейтіндісіндегі таңба. Егер $a$ мен $c$ әртүрлі таңбалы болса, $-4ac$ оң сан болады: $2x^2 + 3x - 2 = 0$ үшін $-4 \cdot 2 \cdot (-2) = +16$. Әр көбейткішті жақшаға алып жазу бұл қатеден сақтайды.
3. Бөлімде $2a$ орнына $2$ жазу. $a \neq 1$ болғанда бөлім $2a$ болатынын ұмытпа. $2x^2 + 3x - 2 = 0$ үшін бөлім $4$-ке тең, $2$-ге емес.
4. Теңдеуді стандарт түрге келтірмей, коэффициенттерді жазу. $x^2 = 5x - 6$ теңдеуінде $b = 5$ емес. Алдымен барлық мүшені бір жаққа шығарамыз: $x^2 - 5x + 6 = 0$, содан кейін ғана $a$, $b$, $c$-ны анықтаймыз.
5. Теңдеуді $x$-ке бөліп, түбірді жоғалту. $x^2 = 5x$ теңдеуін $x$-ке бөлсек, тек $x = 5$ қалады, ал $x = 0$ түбірі жоғалады. Дұрысы: $x^2 - 5x = 0$, $x(x - 5) = 0$, $x = 0$ немесе $x = 5$.

Өз бетіңше шығар

Теңдеулерді шеш:

1. $x^2 - 7x + 10 = 0$
2. $x^2 + 4x - 21 = 0$
3. $4x^2 - 9 = 0$
4. $3x^2 - 5x + 2 = 0$
5. $9x^2 - 12x + 4 = 0$
6. $x(x + 3) = 4(x + 5)$

Кеңес: әр жауапты теңдеуге қойып тексер. Бұл — математиктің ең жақсы әдеті.

Жауаптары

1. $D = 9$; $x_1 = 5$, $x_2 = 2$.
2. $D = 100$; $x_1 = 3$, $x_2 = -7$.
3. $x^2 = \frac{9}{4}$; $x = \pm \frac{3}{2}$.
4. $D = 1$; $x_1 = 1$, $x_2 = \frac{2}{3}$.
5. $D = 0$; $x = \frac{2}{3}$.
6. Жақшаларды ашсақ, $x^2 - x - 20 = 0$; $D = 81$; $x_1 = 5$, $x_2 = -4$.

Қорытынды

Квадрат теңдеуді шешу алгоритмі қарапайым: теңдеуді $ax^2 + bx + c = 0$ түріне келтір, коэффициенттерді таңбасымен жаз, $D = b^2 - 4ac$ есепте, түбірлер санын анықтап, формуланы қолдан және жауапты тексер. Ең көп қате таңбалар мен бөлімдегі $2a$-дан шығады, сондықтан осы жерлерге ерекше көңіл бөл.

Егер тақырып әлі де қиын болып көрінсе немесе есептерде жиі қателессең, оны мұғаліммен бірге қазақ тілінде жеке онлайн-сабақта баяу, өз қарқыныңмен талдап шығуға болады.