Пифагор теоремасы — дәлелдеу және есептер (8 сынып)

Пифагор теоремасы тік бұрышты үшбұрыштың қабырғаларын байланыстырады және геометриядағы ең жиі қолданылатын теоремалардың бірі болып табылады. Бұл сабақта теореманың тұжырымын, қарапайым дәлелдеуін, кері теореманы және 8 сыныпта кездесетін негізгі есеп түрлерін қадам-қадаммен қарастырамыз. Теореманы меңгерсең, тіктөртбұрыштың диагоналын, ромбының қабырғасын, тең бүйірлі үшбұрыштың биіктігін оңай таба аласың.

Теория

Еске түсірейік: бір бұрышы тік ($90^\circ$) болатын үшбұрыш тік бұрышты үшбұрыш деп аталады. Тік бұрыштың қарсысында жатқан қабырға — гипотенуза, тік бұрышты құрайтын екі қабырға — катеттер. Гипотенуза әрқашан үшбұрыштың ең үлкен қабырғасы болады.

Төменде $ABC$ — тік бұрышты үшбұрыш, $C$ бұрышы — тік бұрыш деп аламыз. Онда $AC = b$ және $BC = a$ — катеттер, $AB = c$ — гипотенуза.

Пифагор теоремасы. Тік бұрышты үшбұрышта гипотенузаның квадраты катеттердің квадраттарының қосындысына тең:

$c^2 = a^2 + b^2.$

Дәлелдеуі (аудандар арқылы). Қабырғасы $a + b$ болатын шаршыны қарастырайық. Оның әр қабырғасын $a$ және $b$ кесінділеріне бөлетін нүктелерді белгілеп, көрші қабырғалардағы осы нүктелерді қоссақ, шаршының ішінде катеттері $a$ және $b$, гипотенузасы $c$ болатын төрт бірдей тік бұрышты үшбұрыш пайда болады. Ортасында қабырғасы $c$ болатын ішкі шаршы қалады (оның бұрыштары тік: үлкен шаршының қабырғасындағы әр нүктеде екі үшбұрыштың сүйір бұрыштары қосындысы $90^\circ$ береді, ал жазыңқы бұрыш $180^\circ$, сондықтан ішкі шаршының бұрышы $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$).

Үлкен шаршының ауданын екі тәсілмен есептейміз:

1. Қабырғасы арқылы: $S = (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
2. Бөліктерінің қосындысы ретінде: төрт үшбұрыш және ішкі шаршы:

$S = 4 \cdot \frac{1}{2}ab + c^2 = 2ab + c^2.$

Екі өрнекті теңестіреміз: $a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2$, бұдан $c^2 = a^2 + b^2$. Теорема дәлелденді.

Пифагор теоремасына кері теорема. Егер үшбұрыштың бір қабырғасының квадраты қалған екі қабырғасының квадраттарының қосындысына тең болса, онда бұл үшбұрыш — тік бұрышты үшбұрыш.

Кері теорема үшбұрыштың тік бұрышты екенін қабырғалары арқылы тексеруге мүмкіндік береді. Тексергенде $c$ ретінде ең үлкен қабырғаны алу керек.

Пифагор үштіктері. Қабырғалары бүтін сандар болатын тік бұрышты үшбұрыштар жиі кездеседі. Оларды білу есептеуді жеделдетеді:

Үштікті бір санға көбейтсек те, жаңа үштік шығады: $6, 8, 10$ немесе $9, 12, 15$.

Формулалар

$c^2 = a^2 + b^2, \qquad c = \sqrt{a^2 + b^2}, \qquad a = \sqrt{c^2 - b^2}.$

Гипотенузаны табу үшін квадраттарды қосамыз, катетті табу үшін гипотенузаның квадратынан белгілі катеттің квадратын азайтамыз.

Мысалдар

1-мысал. Гипотенузаны табу

Тік бұрышты үшбұрыштың катеттері $6$ см және $8$ см. Гипотенузаны тап.

1-қадам. $c^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$.

2-қадам. $c = \sqrt{100} = 10$ см.

Жауабы: $10$ см.

2-мысал. Катетті табу

Тік бұрышты үшбұрыштың гипотенузасы $13$ см, бір катеті $5$ см. Екінші катетті тап.

1-қадам. $b^2 = c^2 - a^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$.

2-қадам. $b = \sqrt{144} = 12$ см.

Жауабы: $12$ см.

3-мысал. Тең бүйірлі үшбұрыштың биіктігі

$ABC$ тең бүйірлі үшбұрышында $AB = BC = 10$ см, табаны $AC = 12$ см. $B$ төбесінен түсірілген $BH$ биіктігін және үшбұрыштың ауданын тап.

1-қадам. Тең бүйірлі үшбұрышта табанға түсірілген биіктік медиана да болады, сондықтан $AH = HC = 12 : 2 = 6$ см.

2-қадам. $ABH$ — тік бұрышты үшбұрыш, $H$ бұрышы — тік бұрыш, $AB$ — гипотенуза. Пифагор теоремасы бойынша:

$BH^2 = AB^2 - AH^2 = 100 - 36 = 64, \qquad BH = \sqrt{64} = 8.$

Демек, $BH = 8$ см.

3-қадам. Аудан: $S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 48$ см².

Жауабы: $BH = 8$ см, $S = 48$ см².

4-мысал. Үшбұрыш тік бұрышты ма?

а) Қабырғалары $7$, $24$ және $25$ болатын үшбұрыш; б) қабырғалары $6$, $7$ және $9$ болатын үшбұрыш.

1-қадам. Әр жағдайда ең үлкен қабырғаның квадратын қалған екеуінің квадраттарының қосындысымен салыстырамыз.

2-қадам. а) $7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2$. Теңдік орындалады, үшбұрыш тік бұрышты.

3-қадам. б) $6^2 + 7^2 = 36 + 49 = 85$, ал $9^2 = 81$. $85 \neq 81$, үшбұрыш тік бұрышты емес.

Жауабы: а) иә; б) жоқ.

Жиі кездесетін қателер

1. Теореманы тік бұрышты емес үшбұрышқа қолдану. $c^2 = a^2 + b^2$ теңдігі тек тік бұрышты үшбұрыш үшін дұрыс. Есепте тік бұрыш берілмесе, оны алдымен табу (мысалы, биіктік жүргізу) керек.
2. Катетті табарда квадраттарды қосып жіберу. Катет гипотенузадан кіші болуы тиіс, сондықтан $a^2 = c^2 - b^2$. Егер «катет» гипотенузадан үлкен шықса, қате бар.
3. $\sqrt{a^2 + b^2}$ өрнегін $a + b$ деп жазу. Мысалы, $\sqrt{6^2 + 8^2} = 10$, ал $6 + 8 = 14$. Түбір қосындыға «бөлінбейді».
4. Гипотенузаны дұрыс анықтамау. Гипотенуза — тік бұрыштың қарсысындағы қабырға. Сызбада оны белгілеп алу пайдалы.
5. Кері теоремада ең үлкен қабырғаны $c$ деп алмау. $5$, $12$, $13$ үшін $5^2 + 13^2 \neq 12^2$ деп «тік бұрышты емес» деген қорытынды жасау қате. Дұрысы: $5^2 + 12^2 = 13^2$.

Өз бетіңше шығар

1. Тік бұрышты үшбұрыштың катеттері $9$ және $12$. Гипотенузаны тап.
2. Тік бұрышты үшбұрыштың гипотенузасы $17$, бір катеті $8$. Екінші катетті тап.
3. Қабырғасы $5$ см болатын шаршының диагоналын тап.
4. Ұзындығы $2{,}5$ м баспалдақ қабырғаға сүйеулі тұр. Баспалдақтың төменгі ұшы қабырғадан $0{,}7$ м қашықтықта. Баспалдақтың жоғарғы ұшы қандай биіктікте?
5. Қабырғалары $12$, $35$ және $37$ болатын үшбұрыш тік бұрышты бола ма?
6. Ромбының диагональдары $16$ см және $30$ см. Ромбының қабырғасын тап. (Нұсқау: ромбының диагональдары өзара перпендикуляр және қиылысу нүктесінде қақ бөлінеді.)

Жауаптары

1. $15$.
2. $15$.
3. $5\sqrt{2}$ см.
4. $\sqrt{6{,}25 - 0{,}49} = \sqrt{5{,}76} = 2{,}4$ м.
5. Иә: $144 + 1225 = 1369 = 37^2$.
6. Жарты диагональдар $8$ және $15$; қабырғасы $\sqrt{64 + 225} = 17$ см.

Қорытынды

Пифагор теоремасы тік бұрышты үшбұрыштың кез келген екі қабырғасы арқылы үшіншісін табуға, ал кері теорема үшбұрыштың тік бұрышты екенін тексеруге мүмкіндік береді. Есепті шығармас бұрын тік бұрыш пен гипотенузаны сызбада белгілеп алсаң, қателердің көбінен сақтанасың.

Егер геометриялық есептерде сызбаны түсіну немесе қажетті тік бұрышты үшбұрышты көру қиын болса, мұндай есептерді мұғаліммен бірге қазақ тілінде жеке онлайн-сабақта ортақ тақтада сызып отырып талдауға болады.