Жай бөлшектерді қосу және азайту (5 сынып)

Бұл сабақта жай бөлшектерді қосу мен азайтуды — бөлімдері бірдей және әртүрлі бөлшектерді, сондай-ақ аралас сандарды қарастырамыз. Бөлшектермен амалдар — 5 сынып математикасының негізі: олар кейін теңдеулерде, пайыздарда, алгебра мен геометрияда үнемі қолданылады. Сондықтан бұл тақырыпты асықпай, әр қадамын түсініп меңгерген өте маңызды.

Теория

Жай бөлшек $\frac{a}{b}$ түрінде жазылады: сызықтың үстіндегі $a$ саны — алымы, астындағы $b$ саны — бөлімі. Бөлім бүтінді неше тең бөлікке бөлгенімізді, ал алым сол бөліктің нешеуін алғанымызды көрсетеді.

• Алымы бөлімінен кіші бөлшек — дұрыс бөлшек (мысалы, $\frac{3}{4}$).
• Алымы бөлімінен үлкен немесе оған тең бөлшек — бұрыс бөлшек (мысалы, $\frac{7}{4}$).
• Бүтін бөлігі мен бөлшек бөлігінен тұратын сан — аралас сан (мысалы, $1\frac{3}{4}$).

Бөлшектің негізгі қасиеті. Бөлшектің алымы мен бөлімін нөлге тең емес бір санға көбейтсек немесе бөлсек, бөлшектің мәні өзгермейді. Осы қасиетке бөлшекті қысқарту және ортақ бөлімге келтіру негізделген.

Бөлімдері бірдей бөлшектерді қосу (азайту). Алымдарын қосамыз (азайтамыз), бөлімін өзгеріссіз қалдырамыз.

Бөлімдері әртүрлі бөлшектерді қосу (азайту). Алдымен бөлшектерді ортақ бөлімге келтіреміз. Ең ыңғайлы ортақ бөлім — бөлімдердің ең кіші ортақ еселігі (ЕКОЕ). Содан кейін әр бөлшектің алымы мен бөлімін қосымша көбейткішке көбейтеміз. Қосымша көбейткіш — ортақ бөлімді берілген бөлшектің бөліміне бөлгендегі бөлінді.

ЕКОЕ-ні қалай тез табуға болады? Бірнеше ыңғайлы тәсіл бар:

• егер үлкен бөлім кіші бөлімге қалдықсыз бөлінсе, ЕКОЕ — үлкен бөлімнің өзі: ЕКОЕ$(3; 6) = 6$, ЕКОЕ$(4; 12) = 12$;
• егер бөлімдердің $1$-ден басқа ортақ бөлгіші болмаса (өзара жай сандар), ЕКОЕ — олардың көбейтіндісі: ЕКОЕ$(4; 5) = 20$, ЕКОЕ$(3; 8) = 24$;
• қалған жағдайда үлкен бөлімнің еселіктерін ретімен жазып ($8, 16, 24, \dots$), кіші бөлімге бөлінетін біріншісін таңдаймыз: ЕКОЕ$(8; 12) = 24$.

Ортақ бөлім ретінде бөлімдердің көбейтіндісін алуға да болады, бірақ онда сандар үлкен болады және жауапты кейін қысқартуға тура келеді. Мысалы, $\frac{1}{6} + \frac{1}{4}$ үшін $24$ ортақ бөлімін алсақ, $\frac{4}{24} + \frac{6}{24} = \frac{10}{24} = \frac{5}{12}$; ал ЕКОЕ $= 12$ алсақ, бірден $\frac{2}{12} + \frac{3}{12} = \frac{5}{12}$ шығады.

Аралас сандарды қосу (азайту). Бүтін бөліктерін бөлек, бөлшек бөліктерін бөлек қосамыз (азайтамыз). Егер азайтқанда азайғыштың бөлшек бөлігі азайтқыштың бөлшек бөлігінен кіші болса, азайғыштың бүтін бөлігінен бір бірлікті «аламыз».

Жауапты әрқашан мүмкіндігінше қысқартамыз, ал бұрыс бөлшекті аралас сан түрінде жазамыз.

Формулалар

$\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c}, \qquad \frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a - b}{c}.$

Бөлімдері әртүрлі болғанда — ортақ бөлімге келтіргеннен кейін дәл осы ережелерді қолданамыз.

Мысалдар

1-мысал. Бөлімдері бірдей бөлшектер

а) $\frac{3}{11} + \frac{5}{11} = \frac{3 + 5}{11} = \frac{8}{11}$.

б) $\frac{7}{9} - \frac{2}{9} = \frac{7 - 2}{9} = \frac{5}{9}$.

в) $\frac{5}{12} + \frac{1}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$ — жауапты $6$-ға қысқарттық.

2-мысал. $\frac{1}{4} + \frac{5}{6}$

1-қадам. Бөлімдердің ЕКОЕ-сін табамыз: $4$-тің еселіктері — $4, 8, 12, \dots$; $6$-ның еселіктері — $6, 12, \dots$. ЕКОЕ$(4; 6) = 12$.

2-қадам. Қосымша көбейткіштер: $12 : 4 = 3$ және $12 : 6 = 2$.

3-қадам. Бөлшектерді ортақ бөлімге келтіреміз:

$\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{3}{12}, \qquad \frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{10}{12}.$

4-қадам. Қосамыз: $\frac{3}{12} + \frac{10}{12} = \frac{13}{12}$.

5-қадам. Бұрыс бөлшектен бүтін бөлігін бөліп аламыз: $\frac{13}{12} = 1\frac{1}{12}$.

Жауабы: $1\frac{1}{12}$.

3-мысал. $\frac{7}{8} - \frac{5}{12}$

1-қадам. ЕКОЕ$(8; 12) = 24$.

2-қадам. Қосымша көбейткіштер: $24 : 8 = 3$, $24 : 12 = 2$.

3-қадам. $\frac{7}{8} = \frac{21}{24}$, $\frac{5}{12} = \frac{10}{24}$.

4-қадам. $\frac{21}{24} - \frac{10}{24} = \frac{11}{24}$. Бөлшек қысқармайды.

Жауабы: $\frac{11}{24}$.

4-мысал. Аралас сандарды қосу: $3\frac{2}{5} + 1\frac{3}{4}$

1-қадам. Бүтін бөліктерін қосамыз: $3 + 1 = 4$.

2-қадам. Бөлшек бөліктерін ортақ бөлімге келтіреміз (ЕКОЕ $= 20$): $\frac{2}{5} = \frac{8}{20}$, $\frac{3}{4} = \frac{15}{20}$.

3-қадам. $\frac{8}{20} + \frac{15}{20} = \frac{23}{20} = 1\frac{3}{20}$.

4-қадам. $4 + 1\frac{3}{20} = 5\frac{3}{20}$.

Жауабы: $5\frac{3}{20}$.

5-мысал. Аралас сандарды азайту: $5\frac{1}{3} - 2\frac{3}{4}$

1-қадам. Бөлшек бөліктерін ортақ бөлімге келтіреміз (ЕКОЕ $= 12$): $5\frac{1}{3} = 5\frac{4}{12}$, $2\frac{3}{4} = 2\frac{9}{12}$.

2-қадам. $\frac{4}{12}$-ден $\frac{9}{12}$-ні азайта алмаймыз. Сондықтан $5$-тен бір бірлікті аламыз: $1 = \frac{12}{12}$, онда $5\frac{4}{12} = 4\frac{16}{12}$.

3-қадам. $4\frac{16}{12} - 2\frac{9}{12} = 2\frac{7}{12}$.

4-қадам. Бұрыс бөлшектер арқылы тексереміз: $\frac{16}{3} - \frac{11}{4} = \frac{64}{12} - \frac{33}{12} = \frac{31}{12} = 2\frac{7}{12}$.

Жауабы: $2\frac{7}{12}$.

Жиі кездесетін қателер

1. Алымдарды алыммен, бөлімдерді бөліммен қосу. $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{2}{5}$ — қате! Ойлап көр: жарты алма мен үштен бір алманың қосындысы жарты алмадан кем бола алмайды, ал $\frac{2}{5} < \frac{1}{2}$. Дұрысы: $\frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$.
2. Қосымша көбейткішке тек бөлімді көбейту. $\frac{1}{4} = \frac{1}{12}$ деп жазу қате. Алымды да сол санға көбейтеміз: $\frac{1}{4} = \frac{3}{12}$.
3. Жауапты қысқартпау немесе бұрыс бөлшекті аралас санға айналдырмау. $\frac{6}{12}$ емес, $\frac{1}{2}$; $\frac{13}{12}$ емес, $1\frac{1}{12}$ деп жазған дұрыс.
4. Бүтіннен бірлік алғанда оны $\frac{10}{10}$ деп алу. Бірлік ортақ бөлімге сәйкес алынады: бөлім $12$ болса, $1 = \frac{12}{12}$.
5. Бүтін саннан аралас санды азайтқанда қателесу. $6 - 2\frac{3}{7}$ үшін $6 = 5\frac{7}{7}$ деп жазамыз, сонда $5\frac{7}{7} - 2\frac{3}{7} = 3\frac{4}{7}$.

Өз бетіңше шығар

1. $\frac{4}{15} + \frac{7}{15}$
2. $\frac{2}{3} + \frac{1}{6}$
3. $\frac{5}{6} - \frac{3}{8}$
4. $2\frac{5}{6} + 1\frac{7}{9}$
5. $4\frac{1}{6} - 1\frac{5}{8}$
6. Айгерім бірінші күні кітаптың $\frac{2}{5}$ бөлігін, екінші күні $\frac{1}{3}$ бөлігін оқыды. Екі күнде кітаптың қандай бөлігін оқыды? Кітаптың қанша бөлігі оқылмай қалды?

Жауаптары

1. $\frac{11}{15}$.
2. $\frac{4}{6} + \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.
3. $\frac{20}{24} - \frac{9}{24} = \frac{11}{24}$.
4. $3 + \frac{15}{18} + \frac{14}{18} = 3 + 1\frac{11}{18} = 4\frac{11}{18}$.
5. $4\frac{4}{24} - 1\frac{15}{24} = 3\frac{28}{24} - 1\frac{15}{24} = 2\frac{13}{24}$.
6. $\frac{6}{15} + \frac{5}{15} = \frac{11}{15}$ бөлігін оқыды; $1 - \frac{11}{15} = \frac{4}{15}$ бөлігі қалды.

Қорытынды

Бөлшектерді қосу мен азайтудың негізгі ережесі — тек бөлімдері бірдей бөлшектерді тікелей қосуға болады, сондықтан алдымен ортақ бөлімге келтіреміз. Аралас сандарда бүтін және бөлшек бөліктерімен бөлек жұмыс істейміз, қажет болса бүтіннен бір бірлік аламыз, ал жауапты әрқашан қысқартамыз.

Егер балаңызға немесе саған бөлшектер тақырыбы қиын болса, оны қазақ тілінде жеке онлайн-сабақта қарапайым мысалдар мен суреттер арқылы, асықпай қайталап шығуға болады.