Үшбұрыштардың теңдік белгілері (7 сынып)

Үшбұрыштардың теңдік белгілері — 7 сынып геометриясының негізгі тақырыбы, өйткені кейінгі теоремалар мен дәлелдеу есептерінің көбі дәл осы белгілерге сүйенеді. Бұл сабақта үш белгінің әрқайсысын түсіндіріп, дәлелдеу есебін қалай рәсімдеу керектігін қадам-қадаммен көрсетеміз. Геометрияда «дәлелде» деген сөзден қорқатын оқушыларға бұл сабақ әсіресе пайдалы болады.

Теория

Екі үшбұрышты беттестіргенде олар толық сәйкес келсе, ондай үшбұрыштар тең үшбұрыштар деп аталады. Тең үшбұрыштардың сәйкес қабырғалары және сәйкес бұрыштары тең болады.

$ABC$ және $A_1B_1C_1$ үшбұрыштарының теңдігі былай жазылады: $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$. Бұл жазбада төбелердің реті маңызды: $A$ төбесі $A_1$-ге, $B$ төбесі $B_1$-ге, $C$ төбесі $C_1$-ге сәйкес келеді. Демек, $AB = A_1B_1$, $BC = B_1C_1$, $AC = A_1C_1$, $\angle A = \angle A_1$, $\angle B = \angle B_1$, $\angle C = \angle C_1$.

Үшбұрыштардың тең екенін анықтау үшін алты элементтің бәрін салыстырудың қажеті жоқ — үш элемент жеткілікті. Бірақ кез келген үш элемент емес, тек төмендегі белгілерде көрсетілгендері.

Үшбұрыштар теңдігінің бірінші белгісі (екі қабырғасы және олардың арасындағы бұрышы бойынша). Егер бір үшбұрыштың екі қабырғасы және олардың арасындағы бұрышы екінші үшбұрыштың екі қабырғасына және олардың арасындағы бұрышына сәйкесінше тең болса, онда бұл үшбұрыштар тең.

Үшбұрыштар теңдігінің екінші белгісі (қабырғасы және оған іргелес екі бұрышы бойынша). Егер бір үшбұрыштың қабырғасы және оған іргелес екі бұрышы екінші үшбұрыштың қабырғасына және оған іргелес екі бұрышына сәйкесінше тең болса, онда бұл үшбұрыштар тең.

Үшбұрыштар теңдігінің үшінші белгісі (үш қабырғасы бойынша). Егер бір үшбұрыштың үш қабырғасы екінші үшбұрыштың үш қабырғасына сәйкесінше тең болса, онда бұл үшбұрыштар тең.

Дәлелдеу есептерінде жиі қолданылатын фактілер:

• вертикаль бұрыштар тең;
• екі үшбұрышқа ортақ қабырға өзіне-өзі тең;
• кесіндінің ортасы оны екі тең бөлікке бөледі;
• биссектриса бұрышты екі тең бұрышқа бөледі;
• медиана қарсы жатқан қабырғаны тең екі бөлікке бөледі.

Дәлелдеу есебін рәсімдеу тәртібі: берілгені → дәлелдеу керегі → қай үшбұрыштарды қарастыратынымыз → тең элементтер (әрқайсысының себебімен) → қай белгі бойынша тең → қорытынды.

Мысалдар

1-мысал (бірінші белгі)

$AB$ және $CD$ кесінділері $O$ нүктесінде қиылысады, $O$ — әр кесіндінің ортасы. $\triangle AOC = \triangle BOD$ екенін дәлелде.

Сызба: $A$ және $B$ нүктелері $O$ нүктесінің екі жағында бір түзуде жатыр, $C$ және $D$ нүктелері де $O$-ның екі жағында екінші түзуде жатыр.

1-қадам. $AO = OB$, өйткені $O$ — $AB$ кесіндісінің ортасы.

2-қадам. $CO = OD$, өйткені $O$ — $CD$ кесіндісінің ортасы.

3-қадам. $\angle AOC = \angle BOD$ — вертикаль бұрыштар.

4-қадам. Екі қабырғасы және олардың арасындағы бұрышы бойынша (бірінші белгі) $\triangle AOC = \triangle BOD$.

Салдары: тең үшбұрыштардың сәйкес қабырғалары тең, сондықтан $AC = BD$.

2-мысал (екінші белгі)

$ABCD$ төртбұрышында $AC$ диагоналы жүргізілген, $\angle BAC = \angle DCA$ және $\angle BCA = \angle DAC$. $\triangle ABC = \triangle CDA$ екенін дәлелде.

1-қадам. $AC$ — екі үшбұрышқа ортақ қабырға.

2-қадам. $\triangle ABC$-да $AC$ қабырғасына іргелес бұрыштар — $\angle BAC$ және $\angle BCA$. $\triangle CDA$-да $CA$ қабырғасына іргелес бұрыштар — $\angle DCA$ және $\angle DAC$.

3-қадам. Шарт бойынша $\angle BAC = \angle DCA$ және $\angle BCA = \angle DAC$.

4-қадам. Қабырғасы және оған іргелес екі бұрышы бойынша (екінші белгі) $\triangle ABC = \triangle CDA$. Төбелердің сәйкестігі: $A \leftrightarrow C$, $B \leftrightarrow D$, $C \leftrightarrow A$.

Салдары: $AB = CD$ және $BC = DA$.

3-мысал (үшінші белгі)

$ABC$ — тең бүйірлі үшбұрыш, $AB = BC$, $BD$ — медиана. $BD$ медианасы $B$ бұрышының биссектрисасы да болатынын дәлелде.

1-қадам. $\triangle ABD$ және $\triangle CBD$ үшбұрыштарын қарастырамыз.

2-қадам. $AB = CB$ — шарт бойынша.

3-қадам. $AD = CD$, өйткені $BD$ — медиана.

4-қадам. $BD$ — ортақ қабырға.

5-қадам. Үш қабырғасы бойынша (үшінші белгі) $\triangle ABD = \triangle CBD$.

6-қадам. Демек, сәйкес бұрыштар тең: $\angle ABD = \angle CBD$, яғни $BD$ — биссектриса.

4-мысал (есептеу)

$\triangle ABC = \triangle MNK$, $AB = 7$ см, $BC = 9$ см, $\angle A = 50^\circ$. $MN$, $NK$ және $\angle M$ табу керек.

1-қадам. Төбелердің сәйкестігі: $A \leftrightarrow M$, $B \leftrightarrow N$, $C \leftrightarrow K$.

2-қадам. $MN = AB = 7$ см, $NK = BC = 9$ см, $\angle M = \angle A = 50^\circ$.

Жиі кездесетін қателер

1. Төбелердің ретін сақтамау. 2-мысалда $\triangle ABC = \triangle ACD$ деп жазу қате, өйткені онда $AB = AC$ деген мағынасыз салдар шығады. Төбелерді тең элементтерге сәйкес ретпен жаз.
2. Арасында жатпайтын бұрышты алу. Бірінші белгіде бұрыш дәл сол екі қабырғаның арасында жатуы керек. Екі қабырғасы және арасында жатпайтын бұрышы тең үшбұрыштар тең болмауы мүмкін.
3. «Үш бұрышы тең болса, үшбұрыштар тең» деп ойлау. Бұл — белгі емес. Мысалы, қабырғасы $2$ см және $5$ см болатын тең қабырғалы үшбұрыштардың бұрыштары бірдей ($60^\circ$), бірақ олар тең емес.
4. Екінші белгіде іргелес емес бұрыштарды алу. Бұрыштар дәл сол қабырғаның ұштарында жатуы керек.
5. Теңдіктің себебін жазбау. «$\angle AOC = \angle BOD$» деп қана жазу жеткіліксіз — «вертикаль бұрыштар» деген негіздеме міндетті. Дәлелдеуде әр қадамның себебі көрсетіледі.

Өз бетіңше шығар

1. $\triangle DEF = \triangle PQR$, $DE = 5$ см, $EF = 8$ см, $\angle F = 40^\circ$. $PQ$, $QR$ және $\angle R$ тап.
2. $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$, $AB = 6$ см, $BC = 8$ см, $A_1C_1 = 10$ см. $ABC$ үшбұрышының периметрін тап.
3. $AB$ және $CD$ кесінділері $O$ нүктесінде қиылысады, $AO = OB$ және $\angle CAO = \angle DBO$. $\triangle AOC = \triangle BOD$ екенін дәлелде.
4. $ABCD$ төртбұрышында $AB = AD$ және $CB = CD$. $\angle ABC = \angle ADC$ екенін дәлелде.
5. $ABC$ — тең бүйірлі үшбұрыш, $AB = BC$, $BD$ — $B$ бұрышының биссектрисасы ($D$ нүктесі $AC$ қабырғасында). $AD = DC$ екенін дәлелде.
6. Бұрыштары сәйкесінше тең, бірақ өздері тең емес екі үшбұрыштың мысалын келтір.

Жауаптары

1. $PQ = 5$ см, $QR = 8$ см, $\angle R = 40^\circ$.
2. $AC = A_1C_1 = 10$ см, $P = 6 + 8 + 10 = 24$ см.
3. $AO = OB$ (шарт), $\angle CAO = \angle DBO$ (шарт), $\angle AOC = \angle BOD$ (вертикаль бұрыштар) — екінші белгі бойынша тең.
4. $AC$ — ортақ қабырға; $\triangle ABC = \triangle ADC$ үшінші белгі бойынша, сондықтан $\angle ABC = \angle ADC$.
5. $AB = CB$, $\angle ABD = \angle CBD$, $BD$ — ортақ; $\triangle ABD = \triangle CBD$ бірінші белгі бойынша, сондықтан $AD = CD$.
6. Мысалы, қабырғасы $2$ см және $5$ см болатын екі тең қабырғалы үшбұрыш.

Қорытынды

Үшбұрыштардың тең екенін дәлелдеу үшін үш белгінің біріне сәйкес келетін үш элементтің теңдігін көрсету жеткілікті: екі қабырға және арасындағы бұрыш, бір қабырға және оған іргелес екі бұрыш немесе үш қабырға. Ең бастысы — әр теңдіктің себебін жазу және төбелердің сәйкестігін сақтау.

Егер дәлелдеу есептерін қалай бастау керектігін түсіну қиын болса, мұғаліммен бірге қазақ тілінде жеке онлайн-сабақта сызбаны ортақ тақтада салып, ойлау жолын қадам-қадаммен талдауға болады.