Сызықтық функция және оның графигі y = kx + b (7 сынып)

Сызықтық функция — 7 сынып алгебрасында оқылатын алғашқы функциялардың бірі, ал оның графигі түзу сызық болады. Бұл сабақта $y = kx + b$ формуласындағы $k$ мен $b$ сандары нені білдіретінін, графикті екі нүкте арқылы қалай салатынын, графиктің осьтермен қиылысу нүктелерін және екі түзудің қиылысу нүктесін табуды үйренеміз. Бұл білім кейін теңдеулер жүйесін графиктік тәсілмен шешуде және физикада қажет болады.

Теория

Сызықтық функция деп $y = kx + b$ формуласымен берілетін функцияны айтамыз, мұндағы $x$ — тәуелсіз айнымалы (аргумент), $k$ және $b$ — берілген сандар.

Мысалдар: $y = 2x - 3$ (мұнда $k = 2$, $b = -3$), $y = -x + 4$ ($k = -1$, $b = 4$), $y = 5 - 3x$ ($k = -3$, $b = 5$), $y = 7$ ($k = 0$, $b = 7$).

Сызықтық функцияның графигі — түзу. Түзу екі нүкте арқылы толық анықталады, сондықтан график салу үшін екі нүкте жеткілікті (үшінші нүктені тексеру үшін алуға болады).

$k$ коэффициентінің мағынасы. $k$ саны бұрыштық коэффициент деп аталады, ол түзудің $Ox$ осіне қатысты көлбеулігін көрсетеді:

• $k > 0$ болса, функция өспелі: $x$ артқан сайын $y$ та артады, түзу солдан оңға қарай «көтеріледі»;
• $k < 0$ болса, функция кемімелі: $x$ артқан сайын $y$ кемиді, түзу «төмендейді»;
• $k = 0$ болса, $y = b$ — графигі $Ox$ осіне параллель түзу.

$b$ санының мағынасы. $x = 0$ болғанда $y = b$. Демек, график $Oy$ осін $(0;\, b)$ нүктесінде қиып өтеді.

Тура пропорционалдық. $b = 0$ болғанда функция $y = kx$ түріне келеді. Оның графигі әрқашан координаталар басы $O(0;\, 0)$ арқылы өтеді.

Екі түзудің өзара орналасуы. $y = k_1x + b_1$ және $y = k_2x + b_2$ түзулері үшін:

Формулалар

$y = kx + b$

• $Oy$ осімен қиылысу нүктесі: $(0;\, b)$.
• $Ox$ осімен қиылысу нүктесі ($k \neq 0$): $y = 0$ деп алып, $kx + b = 0$ теңдеуін шешеміз, $x = -\frac{b}{k}$.
• Нүкте графикке тиісті ме? Нүктенің координаталарын формулаға қоямыз: дұрыс теңдік шықса — тиісті.

Мысалдар

1-мысал. $y = 2x - 3$ функциясының графигін сал

1-қадам. Мәндер кестесін құрамыз:

$x = 0$ болғанда $y = 2 \cdot 0 - 3 = -3$; $x = 2$ болғанда $y = 2 \cdot 2 - 3 = 1$.

2-қадам. Координаталық жазықтықта $(0;\, -3)$ және $(2;\, 1)$ нүктелерін белгілеп, олар арқылы түзу жүргіземіз.

3-қадам. Қасиеттерін жазамыз: $k = 2 > 0$, демек, функция өспелі; $Oy$ осін $(0;\, -3)$ нүктесінде қиады.

4-қадам. $Ox$ осімен қиылысуы: $2x - 3 = 0$, $x = 1{,}5$. Нүкте — $(1{,}5;\, 0)$.

2-мысал. Нүктелер графикке тиісті ме?

$A(3;\, -5)$ және $B(-1;\, 4)$ нүктелері $y = -2x + 1$ функциясының графигіне тиісті ме?

1-қадам. $A$ нүктесі: $x = 3$ қоямыз, $y = -2 \cdot 3 + 1 = -6 + 1 = -5$. Шыққан мән $A$ нүктесінің ординатасына тең, демек, $A$ тиісті.

2-қадам. $B$ нүктесі: $x = -1$ қоямыз, $y = -2 \cdot (-1) + 1 = 2 + 1 = 3$. Ал $B$ нүктесінің ординатасы $4$, $3 \neq 4$, демек, $B$ тиісті емес.

Жауабы: $A$ — тиісті, $B$ — тиісті емес.

3-мысал. Екі нүкте арқылы өтетін түзудің формуласын тап

Түзу $(1;\, 3)$ және $(3;\, 7)$ нүктелері арқылы өтеді. $y = kx + b$ түріндегі формуласын тап.

1-қадам. Нүктелердің координаталарын формулаға қоямыз:

$3 = k \cdot 1 + b, \qquad 7 = k \cdot 3 + b.$

2-қадам. Екінші теңдіктен біріншісін мүшелеп азайтамыз: $7 - 3 = 3k - k$, яғни $4 = 2k$, $k = 2$.

3-қадам. $3 = 2 + b$, бұдан $b = 1$.

4-қадам. Тексеру: $x = 3$ болғанда $y = 2 \cdot 3 + 1 = 7$.

Жауабы: $y = 2x + 1$.

4-мысал. Екі түзудің қиылысу нүктесі

$y = 3x - 2$ және $y = -x + 6$ графиктерінің қиылысу нүктесін тап.

1-қадам. Бұрыштық коэффициенттер әртүрлі ($3 \neq -1$), демек, түзулер қиылысады.

2-қадам. Қиылысу нүктесінде $y$ мәндері тең: $3x - 2 = -x + 6$.

3-қадам. $3x + x = 6 + 2$, $4x = 8$, $x = 2$.

4-қадам. $y = 3 \cdot 2 - 2 = 4$. Тексеру: $-2 + 6 = 4$.

Жауабы: $(2;\, 4)$.

Жиі кездесетін қателер

1. $k$ мен $b$-ны шатастыру. $y = 5 - 3x$ функциясында $k = 5$ емес. $k$ — $x$-тің алдындағы сан, сондықтан $k = -3$, $b = 5$.
2. Теріс сандарды қойғанда таңбадан қателесу. $y = -2x + 1$ үшін $x = -1$ болғанда $-2 \cdot (-1) = +2$. Теріс мәнді әрқашан жақшаға алып қой.
3. $Ox$ осімен қиылысуды табарда $x = 0$ деп алу. $Ox$ осінде $y = 0$, ал $Oy$ осінде $x = 0$. Осы екеуін жиі ауыстырып алады.
4. Графикті бір нүкте арқылы немесе «көзбен» салу. Түзу салу үшін кемінде екі нүкте есептелуі керек. Ыңғайлы болу үшін бүтін координаталы нүктелерді таңда.
5. $y = 3$ және $x = 3$ түзулерін шатастыру. $y = 3$ — $Ox$ осіне параллель түзу ($k = 0$ болатын сызықтық функция). Ал $x = 3$ — $Oy$ осіне параллель түзу, ол $y = kx + b$ түріндегі функцияның графигі емес.

Өз бетіңше шығар

1. $y = 3x - 6$ функциясы үшін $k$ мен $b$-ны жаз, графиктің $Oy$ және $Ox$ осьтерімен қиылысу нүктелерін тап.
2. $y = 4 - 2x$ функциясы өспелі ме, әлде кемімелі ме? Неліктен?
3. $M(-2;\, 7)$ нүктесі $y = -3x + 1$ функциясының графигіне тиісті ме?
4. $y = 2x + 1$ және $y = -x + 7$ графиктерінің қиылысу нүктесін тап.
5. $(0;\, 2)$ және $(2;\, 8)$ нүктелері арқылы өтетін түзудің формуласын $y = kx + b$ түрінде жаз.
6. $b$-ның қандай мәнінде $y = -x + b$ функциясының графигі $(4;\, 1)$ нүктесі арқылы өтеді? Осы түзу $y = -x$ түзуіне қалай орналасқан?

Жауаптары

1. $k = 3$, $b = -6$; $Oy$ осімен — $(0;\, -6)$, $Ox$ осімен — $(2;\, 0)$.
2. Кемімелі, өйткені $k = -2 < 0$.
3. Иә: $-3 \cdot (-2) + 1 = 7$.
4. $(2;\, 5)$.
5. $y = 3x + 2$.
6. $b = 5$; $y = -x + 5$ түзуі $y = -x$ түзуіне параллель ($k$ бірдей, $b$ әртүрлі).

Қорытынды

$y = kx + b$ функциясының графигі — түзу: $k$ оның көлбеулігін және функцияның өспелі не кемімелі екенін, ал $b$ графиктің $Oy$ осін қай нүктеде қиятынын көрсетеді. Графикті салу үшін екі нүкте жеткілікті, ал қиылысу нүктелерін табу қарапайым теңдеу шешуге келеді.

Егер координаталық жазықтықпен жұмыс істеу немесе график оқу қиын болса, бұл тақырыпты қазақ тілінде жеке онлайн-сабақта ортақ интерактивті тақтада бірге сызып, асықпай түсініп алуға болады.