Виет теоремасы және оған кері теорема (8 сынып)

Виет теоремасы квадрат теңдеудің түбірлері мен коэффициенттерінің арасындағы байланысты көрсетеді. Оның көмегімен кейбір теңдеулерді дискриминантсыз, ауызша шешуге, түбірлері берілген теңдеуді құруға және түбірлерді таппай-ақ олармен байланысты өрнектердің мәнін есептеуге болады. Бұл сабақты оқымас бұрын квадрат теңдеуді дискриминант арқылы шешуді білген жөн.

Теория

Алдымен бір ұғымды еске түсірейік. Бірінші коэффициенті $1$-ге тең квадрат теңдеу келтірілген квадрат теңдеу деп аталады:

$x^2 + px + q = 0.$

Кез келген квадрат теңдеуді $a$-ға бөліп, келтірілген түрге келтіруге болады. Мысалы, $2x^2 - 6x + 4 = 0$ теңдеуін $2$-ге бөлсек, $x^2 - 3x + 2 = 0$ шығады.

Виет теоремасы. Егер $x_1$ және $x_2$ — келтірілген квадрат теңдеу $x^2 + px + q = 0$ түбірлері болса, онда:

• түбірлердің қосындысы қарама-қарсы таңбамен алынған екінші коэффициентке тең: $x_1 + x_2 = -p$;
• түбірлердің көбейтіндісі бос мүшеге тең: $x_1 \cdot x_2 = q$.

Теорема француз математигі Франсуа Виеттің (XVI ғасыр) есімімен аталады.

Теореманың дәлелдеуі (қысқаша). Түбірлер формуласы бойынша, $D = p^2 - 4q$ болғанда

$x_1 = \frac{-p + \sqrt{D}}{2}, \qquad x_2 = \frac{-p - \sqrt{D}}{2}.$

Қоссақ: $x_1 + x_2 = \frac{-2p}{2} = -p$. Көбейтсек, квадраттар айырмасы формуласы бойынша:

$x_1 x_2 = \frac{p^2 - D}{4} = \frac{p^2 - p^2 + 4q}{4} = q.$

Виет теоремасына кері теорема. Егер $m$ және $n$ сандары үшін $m + n = -p$ және $m \cdot n = q$ теңдіктері орындалса, онда $m$ мен $n$ — $x^2 + px + q = 0$ теңдеуінің түбірлері.

Кері теорема түбірлерді «табуға» мүмкіндік береді: көбейтіндісі $q$-ға, қосындысы $-p$-ға тең екі санды іріктеп тапсақ, олар — теңдеудің түбірлері.

Маңызды ескерту. Виет теоремасы теңдеудің түбірлері бар болғанда ғана мағыналы ($D \geq 0$). Түбірлері жоқ теңдеу үшін «қосынды» мен «көбейтінді» туралы айтудың мағынасы жоқ.

Формулалар

Келтірілген теңдеу $x^2 + px + q = 0$ үшін:

$x_1 + x_2 = -p, \qquad x_1 \cdot x_2 = q.$

Жалпы түрдегі теңдеу $ax^2 + bx + c = 0$ үшін ($a \neq 0$):

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \qquad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}.$

Жиі қолданылатын өрнектер:

$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2, \qquad \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2}.$

Түбірлердің таңбасы туралы: егер $q < 0$ болса, түбірлер әртүрлі таңбалы; егер $q > 0$ болса, түбірлер бірдей таңбалы (екеуі де оң немесе екеуі де теріс), ал таңбасын қосындының таңбасы көрсетеді.

Мысалдар

1-мысал. Теңдеуді ауызша шеш: $x^2 - 9x + 20 = 0$

1-қадам. $p = -9$, $q = 20$. Демек, $x_1 + x_2 = 9$, $x_1 x_2 = 20$.

2-қадам. $q > 0$ және қосынды оң, сондықтан екі түбір де оң.

3-қадам. Көбейтіндісі $20$-ға тең жұптарды қарастырамыз: $1$ және $20$, $2$ және $10$, $4$ және $5$. Қосындысы $9$-ға тең жұп — $4$ және $5$.

4-қадам. Кері теорема бойынша $4$ пен $5$ — теңдеудің түбірлері. Тексеру: $16 - 36 + 20 = 0$, $25 - 45 + 20 = 0$.

Жауабы: $x_1 = 4$, $x_2 = 5$.

2-мысал. Екінші түбірді және $q$-ды тап

$x^2 - 7x + q = 0$ теңдеуінің бір түбірі $x_1 = 2$. Екінші түбірді және $q$ коэффициентін тап.

1-қадам. Виет теоремасы бойынша $x_1 + x_2 = 7$, бұдан $x_2 = 7 - 2 = 5$.

2-қадам. $q = x_1 \cdot x_2 = 2 \cdot 5 = 10$.

3-қадам. Тексеру: $x^2 - 7x + 10 = 0$ теңдеуіне $x = 2$ қойсақ: $4 - 14 + 10 = 0$.

Жауабы: $x_2 = 5$, $q = 10$.

3-мысал. Түбірлері $-3$ және $5$ болатын келтірілген квадрат теңдеу құр

1-қадам. Қосынды: $-3 + 5 = 2$, демек, $p = -2$.

2-қадам. Көбейтінді: $(-3) \cdot 5 = -15$, демек, $q = -15$.

3-қадам. Теңдеу: $x^2 - 2x - 15 = 0$.

Тексеру: $9 + 6 - 15 = 0$; $25 - 10 - 15 = 0$.

Жауабы: $x^2 - 2x - 15 = 0$.

4-мысал. Теңдеуді шешпей, өрнектің мәнін тап

$x^2 - 5x + 3 = 0$ теңдеуінің түбірлері $x_1$ және $x_2$. $x_1^2 + x_2^2$ және $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$ мәндерін тап.

1-қадам. Түбірлердің бар екенін тексереміз: $D = 25 - 12 = 13 > 0$.

2-қадам. Виет теоремасы: $x_1 + x_2 = 5$, $x_1 x_2 = 3$.

3-қадам. $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 25 - 6 = 19$.

4-қадам. $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2} = \frac{5}{3}$.

Жауабы: $19$ және $\frac{5}{3}$.

5-мысал. Жалпы түрдегі теңдеу: $2x^2 - 7x + 3 = 0$

1-қадам. $a = 2$, $b = -7$, $c = 3$. $x_1 + x_2 = \frac{7}{2}$, $x_1 x_2 = \frac{3}{2}$.

2-қадам. Іріктеу: $3 + \frac{1}{2} = \frac{7}{2}$ және $3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.

Жауабы: $x_1 = 3$, $x_2 = \frac{1}{2}$.

Жиі кездесетін қателер

1. Қосындының таңбасын шатастыру. $x^2 - 9x + 20 = 0$ үшін $x_1 + x_2 = 9$, ал $-9$ емес. Есте сақта: қосынды — екінші коэффициенттің қарама-қарсы таңбасымен алынған мәні.
2. Теңдеу келтірілмеген кезде $a$-ға бөлуді ұмыту. $2x^2 - 7x + 3 = 0$ үшін $x_1 x_2 = 3$ емес, $\frac{3}{2}$.
3. Түбірлері жоқ теңдеуге теореманы қолдану. $x^2 + 2x + 5 = 0$ үшін «қосынды $-2$, көбейтінді $5$» деп жазуға болмайды, өйткені $D = 4 - 20 < 0$, нақты түбірлер жоқ. Күмәнің болса, алдымен $D$-ны тексер.
4. Тек көбейтіндіге қарап, қосындыны тексермеу. $x^2 - 9x + 20 = 0$ үшін $2$ мен $10$-ның көбейтіндісі де $20$, бірақ қосындысы $12$. Екі шартты да тексеру міндетті.
5. Теріс түбірлердің таңбасын ескермеу. $x^2 + 6x + 8 = 0$ үшін қосынды $-6$, көбейтінді $8$, демек, екі түбір де теріс: $-2$ және $-4$.

Өз бетіңше шығар

1. Виет теоремасына кері теореманы қолданып, теңдеуді шеш: $x^2 - 8x + 15 = 0$.
2. Теңдеуді шеш: $x^2 + 6x + 8 = 0$.
3. Теңдеуді шеш: $x^2 - x - 12 = 0$.
4. Түбірлері $2$ және $-7$ болатын келтірілген квадрат теңдеу құр.
5. $x^2 + px + 24 = 0$ теңдеуінің бір түбірі $-4$. Екінші түбірді және $p$-ны тап.
6. $x^2 - 6x + 4 = 0$ теңдеуін шешпей, $x_1^2 + x_2^2$ мәнін тап.

Жауаптары

1. $3$ және $5$.
2. $-2$ және $-4$.
3. $4$ және $-3$.
4. $x^2 + 5x - 14 = 0$.
5. $x_2 = -6$, $p = 10$.
6. $D = 20 > 0$; $x_1^2 + x_2^2 = 6^2 - 2 \cdot 4 = 28$.

Қорытынды

Виет теоремасы келтірілген квадрат теңдеудің түбірлерінің қосындысы $-p$-ға, көбейтіндісі $q$-ға тең екенін айтады, ал кері теорема осы екі шарт бойынша түбірлерді табуға мүмкіндік береді. Бұл тәсіл уақытты үнемдейді, бірақ таңбаларға және теңдеудің келтірілген түрде екеніне әрқашан мұқият бол.

Егер түбірлерді іріктеу немесе өрнектерді түрлендіру қиындық туғызса, бұл тақырыпты қазақ тілінде жеке онлайн-сабақта мұғаліммен бірге қосымша мысалдармен бекітуге болады.